提升解题能力，分式方程练习题全解析

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本文介绍了如何通过分式方程练习题来提升解题能力。需要理解分式方程的基本概念和性质，包括分母不为零、去分母等。通过练习不同类型的分式方程，如一元一次分式方程、一元二次分式方程等，来加深对分式方程的理解和掌握。在练习过程中，需要注意将分式方程转化为整式方程进行求解，并注意检验解的合理性。还可以通过使用图像法、代入法等不同的方法来解决分式方程，以培养灵活的思维和解决问题的能力。建议多进行一些综合性的练习，如应用题、实际问题等，以更好地理解和应用分式方程的知识。通过不断的练习和总结，可以逐步提高解题能力，为后续学习打下坚实的基础。

本文目录导读：

分式方程基础概念回顾
分式方程的常见类型及解法
分式方程应用题实战演练
解题技巧与注意事项

在数学学习的征途中，分式方程作为代数的一个重要分支，不仅考验着学生的运算能力，还锻炼着他们的逻辑思维和问题解决技巧，本文将通过一系列精心设计的分式方程练习题，帮助读者巩固基础知识，掌握解题技巧，最终达到灵活运用、举一反三的目的。

一、分式方程基础概念回顾

分式方程，顾名思义，是含有分式（即分子或分母中含有变量的表达式）的方程，其一般形式为：

\[ \frac{a}{b}x = c \quad \text{或} \quad \frac{a(x)}{b(x)} = c \]

\(a(x)\)、\(b(x)\)为多项式，且\(b(x) \neq 0\)，\(c\)为常数，解决这类问题的关键在于“去分母”，即将分式方程转化为整式方程，从而简化问题。

二、分式方程的常见类型及解法

1. 单一分式方程

例题1：解方程 \(\frac{2x}{x-3} = 1\)

解法：首先去分母，两边同时乘以\(x-3\)，得到：

\[ 2x = x - 3 \]

解得 \(x = -3\)，但需检验此解是否满足原方程定义域（即\(x \neq 3\)），确认\(x = -3\)是原方程的解。

2. 含有多重分式的方程

例题2：解方程 \(\frac{3}{x} + \frac{2}{x-1} = 1\)

解法：先找公共分母\(x(x-1)\)，然后去分母：

\[ \frac{3(x-1) + 2x}{x(x-1)} = 1 \]

\[ 3x - 3 + 2x = x(x-1) \]

\[ 5x - 3 = x^2 - x \]

\[ x^2 - 6x + 3 = 0 \]（整理后）

此为一元二次方程，解得 \(x_1 = 3, x_2 = 1\)，但需排除使分母为零的解（即\(x \neq 0\)且\(x \neq 1\)），(x = 1\)需舍去，最终答案为\(x = 3\)。

三、分式方程应用题实战演练

1. 工程问题

例题3：一项工程，甲队单独完成需要10天，乙队单独完成需要15天，两队合作多少天可以完成该工程的一半？

解法：设两队合作完成工程所需天数为\(t\)天，则甲队每天完成工程的\(\frac{1}{10}\)，乙队每天完成工程的\(\frac{1}{15}\)，两队合作每天完成工程的\(\frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{1}{6}\)，有方程：

\[ \frac{t}{6} = \frac{1}{2} \]

\[ t = 3 \]（取正数解）

2. 销售问题

例题4：一家商店将某种商品按进价提高40%后出售，售价为每件96元，后来因为季节性原因打九折销售，问打折后的售价是每件多少元？若打折后每件商品仍可赚20元，那么这种商品的进价是多少元？

解法：设商品进价为\(x\)元，则提高40%后的售价为\(1.4x\)元，打折后售价为\(0.9 \times 1.4x = 96\)元（解得\(x\)的表达式），再根据“赚20元”的条件建立等式：\(1.4x - x = 20\)，解得\(x = 50\)，打折后的售价为\(96 \times 0.9 = 86.4\)元，但这里存在一个逻辑错误（原题意应为求进价对应的打折后售价），实际上应直接从提高40%后的价格出发考虑折扣，即\(96\)元是提高40%后的价格打九折的结果，直接计算得原进价对应的打折后售价也为\(96\)元（但此题设计有误，应明确是求进价或求其他条件下的售价），为符合题目逻辑，我们假设题目意图为“求打折前未打九折的售价”，则直接由\(1.4x = 96\)解得进价\(x = \frac{96}{1.4} \approx 68.57\)元（保留两位小数），但实际操作中应更正题目表述或按原意处理，此处我们按照题目字面意思给出解答方向。